18/12 Radici multiple e loro relazione con il polinomio derivato $f'(X)$, per $f(X) \in A[X]$. Contenuto di un polinomio in $\mathbb Z[X]$. Polinomi primitivi. Lemma di Gauss e Teorema di Gauss. Passaggio dell'irriducibilità da $\mathbb Z[X]$ a $\mathbb Q[X]$. Polinomi irriducibili in $\mathbb C[X]$ e in $\mathbb R[X]$.
12/12 Relazione fra l'esistenza di una radice e la riducibilità di un polinomio. Numero di radici di un polinomio in $A[X]$. Teorema Fondamentale dell'Algebra (solo enunciato). Criterio di irriducibilità di Eisenstein in $\mathbb Z[X]$ e di irriducibilità modulo $p$. Radici razionali ed intere di un polinomio.
9/12 Calcolo del MCD in $K[X]$ tramite l'algoritmo euclideo delle divisioni successive. Esempi. Lemma di Euclide e sue conseguenze in $K[X]$. Teorema di Fattorizzazione in $K[X]$. Radici di polinomi: Teorema di Ruffini in $A[X]$, con $A$ dominio.
5/12 Divisione col resto in $A[X]$. Esistenza MCD e Identità di Bezout in $K[X]$.
2/12 Matrici 2 x2 e loro struttura di anello e di gruppo. Matrice inversa. Anelli di polinomi su anelli commutativi unitari $A$. Prodotto di polinomi. Struttura di anello di $A[X]$. Formula del grado. Elementi invertibili di $A[X]$.
28/11 Ordine di una permutazione: l'ordine di una permutazione è il m.c.m. della lunghezza (ordine) dei suoi cicli disgiunti. Scrittura di una permutazione come prodotto di trasposizioni, parità, la parità di una permutazione è ben definita.
25/11 Teorema di Eulero-Fermat. Teorema di Wilson. Il gruppo simmetrico $S_n$: scrittura degli elementi di $S_n$ in forma matriciale, cicli, scrittura di una permutazione come prodotto di cicli disgiunti, unicità di tale scrittura.
21/11 Congruenze lineari in una indeterminata: $aX \equiv b (mod \, n)$. Equazione diofantee in due indeterminate (loro collegamento con la congruenza lineare). Piccolo Toerema di Fermat. Teorema Cinese dei Resti. Funzione di Eulero: cacolo di $\varphi(n)$ per ogni $n$.
18/11 Omomorfismi di gruppi: definizione. Isomorfismo fra $U_n$ e $U(\mathbb Z_n)$. Prova del $9$. Criteri di divisibilità. Ordine di un elemento in un gruppo: esempi.
14/11 L'anello $\mathbb Z_n$: operazioni di somma e prodotto, prime proprietà. Elementi invertibili di $\mathbb Z_n$ ($U(\mathbb Z_n)$). $\mathbb Z_n$ è un campo se e soltanto se $n$ è primo. Definizione di gruppo e sottogruppo (caratterizzazione dei sottogruppi). Leggi di cancellazione in $\mathbb Z_n$.
11/11 Omomorfismi di anelli: esempi e prime proprietà. Relazione di isomorfismo. I Numeri Complessi: definizione, piano di Argand-Gauss, norma e modulo di un numero complesso, rappresentazione trigonometrica di un numero complesso. Radici n-sime di un numero complesso.
7/11 Anelli: prime definizioni ed esempi. Anelli unitari, commutativi, campi, corpi, anelli integri. Sottoaneli: caratterizzazione ed esempi ($n\mathbb Z$).
4/11 Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (TFA): dimostrazione. Minimo comune Multipli in $\mathbb Z$. Crivello di Eratostene per la determinazione dei primi minori di un intero fissato $n$.
PRIMO ESONERO
24/10 Scrittura di un intero in una base $b \geq 2$. Scrittura binaria. Esempi. Elementi primi e irriducibili in $\mathbb Z$, Lemma di Euclide.
21/10 Successioni ricorsive (numeri di Fibonacci, ecc..). Divisibilità in $\mathbb Z$. Divisione col resto e Massimo comune Divisore.
18/10 I numeri naturali: postulati di Peano. Il Principio di induzione, induzione forte e minimo: dimostrazione della loro equivalenza.
14/10 Teorema di corrispondenza fra le relazioni di equivalenza su un insieme $X$ e le partizioni di $X$. Relazione nucleo di un'applicazione. Teorema fondamentale di decomposizione di un'applicazione.
10/10 Inversa a destra ed inversa a sinistra di un'applicazione. Relazioni di equivalenza su un insieme. Esempi: la congruenza modulo $n$. Classi di equivalenza. Partizioni di un insieme.
7/10 Relazione di ordine opposto. Applicazioni fra insiemi: restrizione, prolungamento, iniettiva, suriettiva, biiettiva. Immagine e controimmagine di sottoinsiemi e loro relazioni con le proprietà di iniettività e suriettività.
3/10 Relazioni di ordine: proprietà ed esempi. Elemento massimo, minimo, massimale, minimale, minorante, maggiorante, estremo inferiore e superiore di un insieme ordinato. Ordine lessicografico.
30/9 Proprietà delle relazioni: riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva, totale. Esempi ed esercizi. Corrispondenza inversa e corrispondenza composta (risp. relazione).
26/9 Diagrammi di Venn per rappresentare in modo figurativo un inseme e le principali operazioni fra insiemi. Famiglie di insiemi: definizione, unione e intersezione. Cardinalità di insiemi finiti.
23/9 Introduzione al corso. Insiemi: definizione e prime proprietà (unione, intersezione e differenza di due insiemi). Descrizioni di alcuni quantificatori matematici (simboli di appartenenza di un elemento ad un insieme, inclusione di un insieme in un altro, implicazione ed equivalenza logica, etc....).
Elementi di logica proposizionale, le Tavole della verità. Esercizi ed esempi. Il metodo di dimostrazione per assurdo.
